Để chứng minh P > 376, ta sẽ sử dụng phương pháp đặt giả định và chứng minh vô lý.

Giả sử P ≤ 376, ta có:
P = 5a^2 + 11b^2 + 5c^2 ≤ 376

Từ đó, ta có:
5a^2 + 11b^2 + 5c^2 - 376 ≤ 0
⇔ 5a^2 + 11b^2 + 5c^2 - 188 - 188 ≤ 0
⇔ 5a^2 + 11b^2 + 5c^2 - (ab + 7bc + ca) - 188 ≤ 0
⇔ (a^2 - ab) + (b^2 - 7bc) + (c^2 - ca) - 188 ≤ 0
⇔ a(a - b) + b(b - 7c) + c(c - a) - 188 ≤ 0
⇔ a(a - b) + b(b - 7c) - c(a - c) - 188 ≤ 0

Vì a, b, c > 0, nên ta có:
a(a - b) + b(b - 7c) - c(a - c) - 188 < 0

Từ đó, ta có:
a^2 - ab + b^2 - 7bc + c^2 - ca < 188

Nhưng theo đề bài, ta có:
ab + 7bc + ca = 188

Kết hợp hai điều kiện trên, ta có:
a^2 - ab + b^2 - 7bc + c^2 - ca < ab + 7bc + ca
⇔ a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + 7bc + ca)
⇔ a^2 + b^2 + c^2 < 2(188)
⇔ a^2 + b^2 + c^2 < 376

Điều này mâu thuẫn với giả định ban đầu P ≤ 376. Vậy giả định ban đầu là sai.

Do đó, ta kết luận rằng P > 376.