Để chứng minh công thức sin^2(a) + sin^2(b) + sin^2(c) = 2S/R^2, ta sẽ sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác và công thức sin = c/2R để tính sin(a), sin(b), sin(c).

Công thức Heron cho biết diện tích S của tam giác có cạnh a, b, c là:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
với p = (a+b+c)/2 là nửa chu vi của tam giác.

Công thức sin = c/2R cho biết sin(a) = a/2R, sin(b) = b/2R, sin(c) = c/2R
với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Ta có:
sin^2(a) + sin^2(b) + sin^2(c) = (a/2R)^2 + (b/2R)^2 + (c/2R)^2
= (a^2 + b^2 + c^2)/(4R^2)

Với công thức Cosin, ta có:
a^2 + b^2 - 2abcos(c) = c^2
b^2 + c^2 - 2bccos(a) = a^2
c^2 + a^2 - 2accos(b) = b^2

Tổng 2 phương trình trên ta được:
2(a^2 + b^2 + c^2) = 2(abcos(c) + bccos(a) + accos(b))

Thay vào công thức diện tích tam giác Heron, ta có:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
= √(abc(abc - (abcos(c) + bccos(a) + accos(b))/2))
= √(abc(abc - 2(a^2 + b^2 + c^2)/2))
= √(abc(abc - (a^2 + b^2 + c^2)))

Vậy:
sin^2(a) + sin^2(b) + sin^2(c) = (a^2 + b^2 + c^2)/(4R^2)
= (2S/abc)/(4R^2)
= S/(2R^2)
= 2S/R^2

Vậy chứng minh được công thức sin^2(a) + sin^2(b) + sin^2(c) = 2S/R^2.