Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O

Để chứng minh AB^2 + CD^2 = AD^2, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOB và tam giác vuông COD.

Trong tam giác vuông AOB, ta có:
AB^2 = OA^2 + OB^2 (1)

Trong tam giác vuông COD, ta có:
CD^2 = OC^2 + OD^2 (2)

Vì OA và OB vuông góc với nhau tại A, nên OA và OB là các đường cao của tam giác vuông AOB. Tương tự, OC và OD là các đường cao của tam giác vuông COD.

Vì AB và CD là hai đường chéo của tứ giác ABCD và AC và BB vuông góc với nhau tại O, nên ta có:
AB^2 + CD^2 = OA^2 + OB^2 + OC^2 + OD^2 (3)

Từ (1) và (2), ta có:
AB^2 + CD^2 = OA^2 + OB^2 + OC^2 + OD^2 = AD^2 + BC^2 (4)

Vì AD = 5cm và BC = 10cm, nên ta có:
AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2 = 5^2 + 10^2 = 25 + 100 = 125

Vậy, AB^2 + CD^2 = 125.

Để tính độ dài CD, ta sử dụng công thức Pythagoras trong tam giác vuông COD:
CD^2 = OC^2 + OD^2

Vì OC = OD = BC/2 = 10/2 = 5cm, nên ta có:
CD^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50

Vậy, CD = √50 = 5√2 cm.