Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thuộc cung nhỏ BC của (O) (M khác C và D)

Để chứng minh KQ // BD, ta sẽ sử dụng định lí hai đường tiếp tuyến.

1. Chứng minh KQ // BD:
Ta có:
∠KOA = 90° (vì OA là đường tiếp tuyến của (O) tại A)
∠KOM = ∠BOM (cùng nằm trên cung nhỏ BC)
∠BOM = ∠BAM (cùng nằm trên cung nhỏ BC)
∠BAM = ∠BQM (do MQ // AC)
Vậy ta có: ∠KOA = ∠BQM
Do đó, KQ // BD.

2. Chứng minh 2AK . DI = AC^2:
Ta có:
∠KOA = 90° (vì OA là đường tiếp tuyến của (O) tại A)
∠KOM = ∠BOM (cùng nằm trên cung nhỏ BC)
∠BOM = ∠BAM (cùng nằm trên cung nhỏ BC)
∠BAM = ∠BQM (do MQ // AC)
Vậy ta có: ∠KOA = ∠BQM
Do đó, ta có:
∠KOA = ∠BQM
∠KOM = ∠BOM
∠BOM = ∠BAM
∠BAM = ∠BQM
Vậy ta có hai tam giác AKO và BQO đồng dạng (có cặp góc tương đồng).
Áp dụng định lí đồng dạng tam giác, ta có:
AK/OQ = KO/OB
AK/OQ = KO/OD (vì OB = OD)
AK/OQ = KO/OD = 1 (vì KO = OD)
Vậy ta có: AK = OQ
Do đó, ta có:
2AK . DI = 2OQ . DI (vì AK = OQ)
2AK . DI = AC^2 (do OQ = AC)
Vậy ta có: 2AK . DI = AC^2.