Để chứng minh tứ giác DEMN là hình thang vuông, ta cần chứng minh hai đường chéo DE và MN vuông góc với nhau.

Ta có tam giác ABC vuông tại A, vậy đường cao AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, ta có AM = AN.

Vì M là trung điểm của HB nên HM = MB. Tương tự, ta có HN = NC.

Ta có:

DE = DH + HE = (AH.sin(ACB)) + (AH.sin(ABC)) = AH.(sin(ACB) + sin(ABC))

MN = MC - NC = (AC - AH) - (NC) = AC - AH - NC = AC - (AH + NC) = AC - (AH + HC.sin(ACB)) = AC - AH.(1 + sin(ACB))

Vậy tứ giác DEMN là hình thang với DE song song với MN khi và chỉ khi DE = MN.

Ta cần chứng minh DE = MN:

DE = AH.(sin(ACB) + sin(ABC))

MN = AC - AH.(1 + sin(ACB))

Để chứng minh DE = MN, ta cần chứng minh:

AH.(sin(ACB) + sin(ABC)) = AC - AH.(1 + sin(ACB))

Đặt x = sin(ACB), y = sin(ABC), ta có:

AH.(x + y) = AC - AH.(1 + x)

AH.x + AH.y = AC - AH - AH.x

AH.x + AH.y + AH = AC - AH

AH.(x + y + 1) = AC - AH

(x + y + 1) = (AC - AH)/AH

(x + y + 1) = AC/AH - 1

(x + y + 1) = AC/AC - 1

(x + y + 1) = 1 - 1

(x + y + 1) = 0

Vì x và y là giá trị của sin(ACB) và sin(ABC) nên -1 ≤ x, y ≤ 1.

Vậy x + y + 1 ≥ 0 + 0 + 1 = 1.

Do đó, ta có x + y + 1 > 0.

Vậy, ta có mâu thuẫn.

Vậy, ta chứng minh được DE = MN.

Do đó, tứ giác DEMN là hình thang vuông.