A) Ta có tam giác ABC cân tại A, nên ta có AB = AC.
Vì AH vuông góc với BC, nên tam giác ABH và tam giác ACH có cạnh AB chung và góc BAH = góc CAH = 90 độ.
Do đó, theo góc, ta có tam giác ABH = tam giác ACH.

B) Ta có BN // AH (do ABH = ACH) và NK = NG (theo định nghĩa của K).
Vì BN // AH và NK = NG, nên theo định lí Thales, ta có AG // GK.

C) Ta có BN // AH và AG // GK (do ABH = ACH và NK = NG).
Vì BN // AH và AG // GK, nên theo định lí Thales, ta có G là trung điểm của BK.

D) Ta có M là trung điểm của AB, nên AM = MB.
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AC + CB > AB.
Thay AB = 2AM và AC = 2AN, ta có 2AN + CB > 2AM.
Do đó, BC + AG > 4GM.