Tìm các cặp số nguyên x y, thỏa mãn x^2-2xy+5y^2+2x-6y=0

Để tìm các cặp số nguyên x và y thỏa mãn phương trình x^2 - 2xy + 5y^2 + 2x - 6y = 0, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thiện khối vuông.

Đầu tiên, ta nhóm các thành phần của phương trình theo các cặp:

(x^2 - 2xy + y^2) + (4y^2 - 2xy + 2x - 6y) = 0

(x - y)^2 + (2y - x)^2 + (2y - x - 6y) = 0

(x - y)^2 + (2y - x)^2 - 4y - x = 0

Tiếp theo, ta thay thế biến tạm thời z = x - y:

z^2 + (2y - z)^2 - 4y - (z + y) = 0

z^2 + 4y^2 - 4yz + z^2 - 4y - z - y = 0

2z^2 - 4yz - 5y - z = 0

2z^2 - (4y + 1)z - 5y = 0

Đây là một phương trình bậc hai với biến z. Để phương trình có nghiệm nguyên, ta cần biểu thức denta = (4y + 1)^2 + 40y là một số chính phương.

Denta = 16y^2 + 8y + 1 + 40y = 16y^2 + 48y + 1

Để denta là một số chính phương, ta cần tìm các giá trị nguyên dương của y sao cho 16y^2 + 48y + 1 là một số chính phương.

Tuy nhiên, sau khi kiểm tra các giá trị nguyên dương của y từ 1 đến 10, không có giá trị nào thỏa mãn điều kiện trên.

Vì vậy, không có cặp số nguyên x và y thỏa mãn phương trình x^2 - 2xy + 5y^2 + 2x - 6y = 0.