Để tìm các độ dài BC, BH, CH và AH, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC.

Theo định lý Pythagoras, trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

Với tam giác ABC, ta có:
AC^2 = AB^2 + BC^2
10^2 = 8^2 + BC^2
100 = 64 + BC^2
BC^2 = 100 - 64
BC^2 = 36
BC = √36
BC = 6 cm

Vậy độ dài cạnh BC là 6 cm.

Tiếp theo, ta có thể tính độ dài các đường cao BH và CH.

Đường cao BH chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông ABC và ABH. Vì vậy, ta có thể sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABH để tính độ dài BH.

Theo định lý Pythagoras, ta có:
AB^2 = AH^2 + BH^2
8^2 = AH^2 + BH^2
64 = AH^2 + BH^2

Đường cao CH cũng chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông ABC và ACH. Ta cũng có thể sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ACH để tính độ dài CH.

Theo định lý Pythagoras, ta có:
AC^2 = AH^2 + CH^2
10^2 = AH^2 + CH^2
100 = AH^2 + CH^2

Từ hai phương trình trên, ta có thể thấy rằng AH^2 + BH^2 = AH^2 + CH^2. Vì vậy, BH^2 = CH^2.

Vì BH và CH có cùng độ dài, ta có thể gọi độ dài này là h.

Vậy, ta có:
BH^2 = h^2
CH^2 = h^2

Từ đó, ta có:
64 = AH^2 + h^2
100 = AH^2 + h^2

Giải hệ phương trình trên, ta có:
AH^2 = 64 - h^2
AH^2 = 100 - h^2

Đặt 64 - h^2 = 100 - h^2
64 = 100

Phương trình trên không có nghiệm.

Vậy, không có giá trị cụ thể cho độ dài của đường cao AH, đường cao BH và đường cao CH.