a) Gọi E là giao điểm của tia phân giác trong của A và B với cạnh CD.
ta có: ∠EAI = ∠BAI và ∠EBI = ∠ABI
Vì AB // CD,
nên ∠ABI = ∠CDE và ∠BAI = ∠CED.
Do đó, ta có: ∠EAI = ∠CED và ∠EBI = ∠CDE Vì ∠EAI = ∠BAI và ∠EBI = ∠ABI,
nên ta có: ∠BAI = ∠CED và ∠ABI = ∠CDE
Từ đó, ta có hai tam giác AIB và CED đồng dạng (có hai góc tương ứng bằng nhau).
Do đó, ta có : AB/AI = CD/CE và AB/BI = CD/DE 
Từ hai tỉ số trên, ta có: AB/AI = AB/BI
Do đó, AI = BI Vì AI = BI, nên ta có: AD + DI = BC + CI Vì CD = DI + CI, nên ta có: CD = AD + BC
Vậy nếu I thuộc cạnh CD thì CD = AD + BC.
b) . Giả sử CD = AD + BC. .
Gọi E là giao điểm của tia phân giác trong của A và B với cạnh CD.
Theo phần a), ta đã chứng minh được rằng nếu I thuộc cạnh CD thì CD = AD + BC.
Vì CD = AD + BC, nên ta có: CD = AD + BC = AD + CE + EB Do đó, ta có: CD = AE + EB
Vì I là giao điểm của tia phân giác trong của A và B, nên ta có: ∠EAI = ∠BAI và ∠EBI = ∠ABI Vì AB // CD,
nên ∠ABI = ∠CDE và ∠BAI = ∠CED. Do đó, ta có: ∠EAI = ∠CED và ∠EBI = ∠CDE Vì ∠EAI = ∠BAI và ∠EBI = ∠ABI,
nên ta có: ∠BAI = ∠CED và ∠ABI = ∠CDE 
Từ đó, ta có hai tam giác AIB và CED đồng dạng (có hai góc tương ứng bằng nhau). Do đó, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cạnh của hai tam giác: AB/AI = CD/CE và AB/BI = CD/DE
Từ hai tỉ số trên, ta có: AB/AI = AB/BI Do đó, AI = BI Vì AI = BI,
nên ta có: AD + DI = BC + CI Vì CD = DI + CI, nên ta có: CD = AD + BC
Vậy nếu CD = AD + BC thì I thuộc cạnh CD.