Giả sử có hai số tự nhiên a và b, và tổng của chúng không chia hết cho 2. Ta cần chứng minh rằng tích của a và b chia hết cho 2.

Giả sử tổng của a và b không chia hết cho 2, tức là tổng a + b là số lẻ. Điều này có nghĩa là a và b cùng cấp số cộng hoặc cùng cấp số nhân với nhau.

Nếu a và b cùng cấp số cộng, tức là a = c + d và b = c + 2d, với c và d là các số tự nhiên. Khi đó, tích của a và b là (c + d)(c + 2d) = c(c + 2d) + d(c + 2d) = c^2 + 2cd + 2d^2 = c^2 + 2(cd + d^2). Ta thấy rằng c^2 là số chẵn (vì c là số tự nhiên), và 2(cd + d^2) cũng là số chẵn (vì cd và d^2 đều là số chẵn). Vậy, tích của a và b chia hết cho 2.

Nếu a và b cùng cấp số nhân, tức là a = cx và b = cy, với c và x, y là các số tự nhiên. Khi đó, tích của a và b là ab = c^2xy. Ta thấy rằng c^2 là số chẵn (vì c là số tự nhiên), và xy cũng là số chẵn (vì x và y đều là số tự nhiên). Vậy, tích của a và b chia hết cho 2.

Vậy, ta đã chứng minh rằng nếu tổng của hai số tự nhiên không chia hết cho 2, thì tích của chúng chia hết cho 2.