Để chứng minh các phần a), b), c), ta sẽ sử dụng các định lý về tam giác vuông và các đường cao của tam giác.

a) Ta có tam giác vuông ABD và tam giác vuông ACD có cạnh góc vuông chung là góc A. Vì AB = AD và AC = AE, nên ta có AB = AD = AC = AE. Do đó, tam giác vuông ABD và tam giác vuông ACD là tam giác cân. Từ đó, ta có BD = CD.

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC và AH vuông góc với BC.

Kẻ DM vuông góc với AH. Vì DM là đường cao của tam giác ABD, nên DM vuông góc với AB. Vì tam giác ABD là tam giác vuông tại A, nên DM vuông góc với AB và DM = AH.

Vậy, ta có DM = AH.

b) Ta đã chứng minh DM = AH ở phần a).

Kẻ đường cao EN của tam giác ACE. Vì tam giác ACE là tam giác vuông tại A, nên EN là đường cao của tam giác ACE và EN vuông góc với AC.

Vì tam giác ACE là tam giác cân, nên AE = AC. Từ đó, ta có EN = AC.

Vậy, ta có EN = AH.

c) Gọi O là giao điểm của đường thẳng An với đường thẳng DE.

Ta cần chứng minh O là trung điểm của DE.

Do DE là đường chéo của tứ giác AEND, nên ta cần chứng minh O là trung điểm của DE.

Ta có:

- Đường thẳng An là đường cao của tam giác ACE, nên O là trung điểm của AE.

- Đường thẳng An là đường cao của tam giác ABD, nên O là trung điểm của AD.

Vì AB = AD và AE = AC, nên ta có AB = AD = AC = AE. Do đó, O là trung điểm của DE.

Vậy, ta đã chứng minh O là trung điểm của DE.