Chứng minh rằng

Để chứng minh rằng (x + y + z)(x - y + z) ≤ x, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử (x + y + z)(x - y + z) > x.

Mở ngoặc, ta có: x^2 - y^2 + z^2 + 2xz - 2yz > x.

Chuyển các thành phần chứa x về cùng một bên, ta có: x^2 - 2xz > y^2 - z^2 - 2yz.

Áp dụng công thức (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, ta có: (x - z)^2 > (y - z)^2.

Do đó, x - z > y - z hoặc x - z < -(y - z).

Trường hợp x - z > y - z: x > y.

Trường hợp x - z < -(y - z): x < -y + 2z.

Từ hai trường hợp trên, ta có x > y hoặc x < -y + 2z.

Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu (x + y + z)(x - y + z) > x, vì nếu x > y thì (x + y + z)(x - y + z) > x, và nếu x < -y + 2z thì (x + y + z)(x - y + z) < x.

Vậy, giả thiết ban đầu là sai. Do đó, ta có (x + y + z)(x - y + z) ≤ x.