Để chứng minh rằng CD = BE và BCD vuông góc với BE, ta sẽ sử dụng định lí Euclid thứ 1 (định lí cạnh chung).

Theo định lí Euclid thứ 1, nếu có hai tam giác vuông cân có cạnh chung, thì cạnh chung đó chia đôi góc giữa hai cạnh không chung.

Trong trường hợp này, ta có tam giác ABC và tam giác ACE là hai tam giác vuông cân có cạnh chung là cạnh AC.

Do đó, cạnh AC chia đôi góc giữa hai cạnh không chung là AB và AE.

Vì tam giác ABC là tam giác nhọn, nên góc ABC nhỏ hơn góc BAC.

Vì tam giác ACE là tam giác vuông cân, nên góc ACE bằng góc CAE.

Vậy, góc ABC nhỏ hơn góc BAC và góc ACE bằng góc CAE.

Từ đó, ta có góc BCD là góc ABC và góc BCD là góc CAE.

Vậy, góc BCD bằng góc ACE.

Do đó, tam giác BCD và tam giác BEC có cạnh chung là cạnh BC và góc BCD bằng góc BEC.

Theo định lí Euclid thứ 1, ta có CD = BE và BCD vuông góc với BE.