Cho tam giác MIK cân tại M ó MH và IE là hai đường cao.Kẻ đường thẳng vuông góc với Ik tại I cắt tia KM tại A

a. Ta có tam giác MIK cân tại M, do đó IM = IK.
Gọi N là trung điểm của IK, ta có MN = NK.
Vì tam giác MIK cân tại M nên đường cao MH cắt đường trung tuyến NK tại trung điểm của MK, gọi là P.
Do đó, MP = PK.
Vì tam giác MIK cân tại M nên đường cao IE cắt đường trung tuyến NK tại trung điểm của IK, gọi là Q.
Do đó, IQ = QK.
Vì tam giác MIK cân tại M nên đường cao MH cắt đường trung tuyến IQ tại trung điểm của MI, gọi là R.
Do đó, MR = RI.
Từ đó, ta có:
AI = AR + RI = AR + MR = 2MR = 2MH.

b. Ta có:
IE^2 = IH^2 + HE^2 (theo định lý Pythagoras)
IK^2 = IN^2 + NK^2 (theo định lý Pythagoras)
MK^2 = MI^2 + IK^2 (theo định lý Pythagoras)
= MI^2 + IN^2 + NK^2
= MI^2 + 2IN^2 + 2NK^2 - 2IN^2
= MI^2 + 2MN^2 - 2IN^2
= MI^2 + 2MP^2 - 2IQ^2
= MI^2 + 2MH^2 - 2IE^2
= MI^2 - 2IE^2 + 2MH^2
= MI^2 - IE^2 + MH^2 + MH^2
= MI^2 - IE^2 + 2MH^2
Do đó, 1/IE^2 = 1/IK^2 + 1/4MH^2.

c. Ta có:
∠KEH = ∠KEM + ∠MEH (theo công thức tổng của hai góc)
= ∠KIM + ∠MIH (vì ME là đường cao của tam giác MIK)
= ∠KIM + ∠MIK (vì MI = MK)
= 180° (vì tam giác MIK cân tại M)
Do đó, tam giác KEH ∞ tam giác KIM.

d. Ta có:
∠KEH = ∠KEM + ∠MEH (theo công thức tổng của hai góc)
= ∠KIM + ∠MIH (vì ME là đường cao của tam giác MIK)
= ∠KIM + ∠MIK (vì MI = MK)
= 180° (vì tam giác MIK cân tại M)
Do đó, tam giác KEH cân tại H.