Cho tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao

a) Chứng minh AHBD, AHCE, BCED là những hình chữ nhật:

- Ta có tam giác ABC cân tại A, do đó AH là đường cao của tam giác ABC. Khi đó, AH vuông góc với BC.
- Gọi I là giao điểm của AH và BC. Ta có AI là đường cao của tam giác ABC, nên AI vuông góc với BC.
- M là trung điểm của AB, nên AM cắt BC tại I và IM = MB.
- Tương tự, N là trung điểm của AC, nên AN cắt BC tại I và IN = NC.
- Vậy, ta có AI = IM = MB và AI = IN = NC.
- Kết hợp với AH vuông góc với BC, ta có AI = IM = MB = AH và AI = IN = NC = AH.
- Do đó, ta có AHBD và AHCE là hình chữ nhật.
- Từ đó, ta cũng suy ra BCED là hình chữ nhật vì BD = AH = CE.

b) Tại sao giao điểm của BE và CD là trung điểm của AH?

- Gọi P là giao điểm của BE và CD.
- Ta có MP || AH (vì M là trung điểm của HD) và NP || AH (vì N là trung điểm của HE).
- Vì MP || AH và NP || AH, nên MP || NP.
- Do đó, MPNP là hình bình hành.
- Gọi Q là giao điểm của MN và BD.
- Ta có MQ || BD (vì M là trung điểm của HD) và NQ || BD (vì N là trung điểm của HE).
- Vì MQ || BD và NQ || BD, nên MQ || NQ.
- Do đó, MQNQ là hình bình hành.
- Vì MPNP và MQNQ là hình bình hành, nên MPNP và MQNQ là hai hình bình hành có cạnh chung là MN.
- Vậy, giao điểm của BE và CD là trung điểm của MN.

c) Giải thích tại sao DH = HE, BE = CD:

- Ta có AHBD và AHCE là hình chữ nhật, nên AH = BD và AH = CE.
- M là trung điểm của HD, nên MH = MD.
- Tương tự, N là trung điểm của HE, nên NH = NE.
- Vì AH = BD và MH = MD, nên AHBD là hình chữ nhật, nên AH = BD = DH.
- Vì AH = CE và NH = NE, nên AHCE là hình chữ nhật, nên AH = CE = HE.
- Từ đó, ta có DH = HE và BD = CE.
- Giao điểm của BE và CD là trung điểm của AH, nên BE = CD.