a) Ta có dãy số học: 2, 2^2, 2^3, ..., 2^100.
Để tính tổng của dãy số này, ta sử dụng công thức tổng của cấp số nhân:
S = a * (1 - r^n) / (1 - r),
trong đó:
- S là tổng của dãy số,
- a là số hạng đầu tiên của dãy,
- r là công bội của dãy (tức là số nhân giữa hai số liên tiếp),
- n là số lượng số hạng trong dãy.

Áp dụng công thức trên vào bài toán này, ta có:
a = 2,
r = 2,
n = 100.

S = 2 * (1 - 2^100) / (1 - 2).

b) Để chứng minh rằng A chia hết cho 3, ta cần chứng minh rằng tổng của dãy số A chia hết cho 3.

Ta biết rằng 2^k chia hết cho 3 khi và chỉ khi k chia hết cho 2 (vì 2^k = 4^m, m là số nguyên).

Trong dãy số A, ta có các số hạng là 2^k, với k từ 1 đến 100.

Vì vậy, số hạng thứ i trong dãy A chia hết cho 3 khi và chỉ khi i chia hết cho 2.

Do đó, tổng của dãy A chia hết cho 3.

Tương tự, để chứng minh rằng A chia hết cho 7, ta cần chứng minh rằng tổng của dãy số A chia hết cho 7.

Ta biết rằng 2^k chia hết cho 7 khi và chỉ khi k chia hết cho 3 (vì 2^k = 8^m, m là số nguyên).

Trong dãy số A, ta có các số hạng là 2^k, với k từ 1 đến 100.

Vì vậy, số hạng thứ i trong dãy A chia hết cho 7 khi và chỉ khi i chia hết cho 3.

Do đó, tổng của dãy A chia hết cho 7.