a) Ta có:
- Trong tam giác vuông ABC, theo định lí Pytago, ta có: AB^2 = BC^2 - AC^2 = 5^2 - AH^2
- Ta cũng có: AH^2 = BH^2 + AB^2 = 1.8^2 + AB^2
Từ hai phương trình trên, suy ra: AB^2 = 5^2 - 1.8^2 = 25 - 3.24 = 21.76
Vậy AB = √21.76 ≈ 4.67 cm
- Từ phương trình thứ hai, ta có: AH^2 = 1.8^2 + AB^2 = 1.8^2 + 4.67^2 = 3.24 + 21.76 = 25
Vậy AH = √25 = 5 cm

b) Diện tích tam giác DMC là diện tích tam giác ABC nhân với tỉ số bình phương độ dài các cạnh tương ứng. Vì M là trung điểm của BC nên DM = MC = 2.5 cm. Từ đó, ta có tỉ số diện tích ΔDMC và ΔABC là (2.5/5)^2 = 1/4.

c) Ta có: AD = DC (vì D là trung điểm của AC)
Vậy AC = AD + DC = 2AD
Theo định lí Pytago trong tam giác vuông ABC, ta có: BC^2 = AB^2 + AC^2 = AB^2 + (2AD)^2 = AB^2 + 4AD^2
Từ đó, ta có: AD^2 = (BC^2 - AB^2)/4 = (5^2 - 4.67^2)/4 = (25 - 21.76)/4 = 0.81
Vậy AD = √0.81 = 0.9 cm
Từ đó, ta có: AC = 2AD = 2*0.9 = 1.8 cm
Vậy AC . DC = 1.8 * 0.9 = 1.62 = 1/2BC^2

d) Diện tích tứ giác ADMB là tổng diện tích hai tam giác ADM và BDM.
- Diện tích tam giác ADM = (1/2) * AD * AM = (1/2) * 0.9 * 2.5 = 1.125 cm^2
- Diện tích tam giác BDM = (1/2) * BD * BM = (1/2) * 0.9 * 2.5 = 1.125 cm^2
Vậy diện tích tứ giác ADMB = diện tích tam giác ADM + diện tích tam giác BDM = 1.125 + 1.125 = 2.25 cm^2