Thống kê cho thấy khả năng mắc bệnh X rất hiếm khi xảy ra, P(X)=1/1000. Hai bác sĩ nổi tiếng được mời chẩn đoán cho một bệnh nhân, biết xác suất chẩn đoán đúng của cả hai bác sĩ đều là 0,9. Giả sử cả hai bác sĩ đều độc lập với nhau đều khẳng định ..

Để tính xác suất mắc bệnh khi cả hai bác sĩ đều khẳng định bệnh nhân mắc bệnh X, ta sử dụng công thức Bayes:

P(X|A) = (P(A|X) * P(X)) / P(A)

Trong đó:
- P(X|A) là xác suất mắc bệnh X khi cả hai bác sĩ đều khẳng định bệnh nhân mắc bệnh X.
- P(A|X) là xác suất cả hai bác sĩ đều chẩn đoán đúng khi bệnh nhân mắc bệnh X, được cho là 0,9.
- P(X) là xác suất mắc bệnh X, được cho là 1/1000.
- P(A) là xác suất cả hai bác sĩ đều chẩn đoán đúng, được tính bằng tổng các trường hợp có thể xảy ra: bệnh nhân mắc bệnh X và cả hai bác sĩ chẩn đoán đúng, hoặc bệnh nhân không mắc bệnh X và cả hai bác sĩ chẩn đoán sai.

P(A) = (P(A|X) * P(X)) + (P(A|~X) * P(~X))

Với P(A|~X) là xác suất cả hai bác sĩ đều chẩn đoán đúng khi bệnh nhân không mắc bệnh X, được tính bằng 1 trừ xác suất cả hai bác sĩ chẩn đoán sai khi bệnh nhân không mắc bệnh X.

P(A|~X) = 1 - (1 - P(A|~X)) = 1 - (1 - 0,1)^2 = 0,19

Vậy:

P(A) = (0,9 * 1/1000) + (0,19 * 999/1000) = 0,0009 + 0,18981 = 0,19071

Áp dụng công thức Bayes:

P(X|A) = (0,9 * 1/1000) / 0,19071 = 0,0009 / 0,19071 ≈ 0,0047

Vậy xác suất mắc bệnh X khi cả hai bác sĩ đều khẳng định bệnh nhân mắc bệnh X là khoảng 0,47%.