a, CM: CM: BHCK là hình bình hành
Ta có:
- Gọi I là trung điểm của EF.
- Vì M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của BH và CK.
- Vì MH = MK nên H là trung điểm của BK và CK.
- Vì BE là đường cao nên BH = 2HI.
- Vì CF là đường cao nên CK = 2KI.
- Vậy BH = CK.
- Vì M là trung điểm của BH và CK nên BM = MC.
- Vậy BM = MC và BH = CK nên BHCK là hình bình hành.

b, CM: BK vuông góc AB
- Vì BE là đường cao nên BH ⊥ AC.
- Vì CF là đường cao nên CK ⊥ AB.
- Vậy BH ⊥ AC và CK ⊥ AB.
- Vì BHCK là hình bình hành nên BH || CK.
- Vậy BH ⊥ AC và BH || CK nên BK ⊥ AB.

c, CM: tâm giác MEF cân
- Vì M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của BH và CK.
- Vì MH = MK nên H là trung điểm của BK và CK.
- Vì BE là đường cao nên BH = 2HI.
- Vì CF là đường cao nên CK = 2KI.
- Vậy BH = CK và HI = KI.
- Vì M là trung điểm của BH và CK nên BM = MC.
- Vậy BM = MC và BH = CK nên tam giác BHC và tam giác CKB là tam giác cân.
- Vậy tâm giác MEF cân.

d, CQ vuông góc BK tại Q. CM: EF vuông góc EQ
- Vì BE là đường cao nên BH ⊥ AC.
- Vì CF là đường cao nên CK ⊥ AB.
- Vậy BH ⊥ AC và CK ⊥ AB.
- Vì BHCK là hình bình hành nên BH || CK.
- Vậy BH ⊥ AC và BH || CK nên tam giác BHC và tam giác CKB là tam giác vuông.
- Vậy CQ vuông góc BK tại Q.
- Vì M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của BH và CK.
- Vậy MQ là đường trung bình trong tam giác BHC nên MQ ⊥ BH.
- Vì MQ ⊥ BH và CQ vuông góc BK tại Q nên MQ || CQ.
- Vậy MQ || CQ và BH || CK nên MQ ⊥ CK.
- Vậy MQ ⊥ CK và CK ⊥ AB nên MQ ⊥ AB.
- Vậy EF vuông góc EQ.