Cho đường tròn (O; R), A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn, BC là một đường kính thay  đổi của đường tròn (O). Gọi D, E lần lượt là giao điểm thứ hai của AB, AC với đường tròn (O). Chứng minh rằng đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định

Gọi M là trung điểm của BC. Ta sẽ chứng minh rằng DE đi qua điểm M.

Vì BC là đường kính của đường tròn (O), nên góc BOC là góc vuông. Do đó, tam giác BOC là tam giác vuông tại O.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng BC. Khi đó, ta có AH là đường cao của tam giác ABC.

Vì tam giác BOC là tam giác vuông tại O, nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến của tam giác BOC. Do đó, ta có AM = MH.

Gọi I là giao điểm của DE và BC. Ta sẽ chứng minh rằng I là trung điểm của BC.

Vì tam giác ABC là tam giác đồng dạng với tam giác ADE (do có cặp góc đồng nhất), nên ta có:

AB/AD = AC/AE

Vì AB = AC (A nằm ngoài đường tròn), nên ta có:

AD = AE

Do đó, tam giác ADE là tam giác cân tại điểm A.

Vì DE là đường phân giác của góc A trong tam giác ADE, nên ta có:

AI là đường trung tuyến của tam giác ADE.

Vì AM = MH và AI là đường trung tuyến của tam giác ADE, nên ta có:

IM || DE và IM = 1/2 DE

Do đó, I là trung điểm của DE.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định, đó là trung điểm của đường kính BC.