Để chứng minh A chia hết cho 4, ta cần chứng minh rằng tổng các số hạng của A chia hết cho 4.

Ta có: A = 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^30

Đặt S = 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^30

Nhân cả hai vế của S với 3, ta được:

3S = 3^2 + 3^3 + 3^4 + ... + 3^31

Trừ hai phương trình trên, ta có:

3S - S = (3^2 + 3^3 + 3^4 + ... + 3^31) - (3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^30)

2S = 3^31 - 3^1

2S = 3(3^30 - 1)

2S = 3[(3^15)^2 - 1]

2S = 3[(3^15 - 1)(3^15 + 1)]

2S = 3(3^15 - 1)(3^15 + 1)

Ta biết rằng 3^15 - 1 chia hết cho 4 (vì 3^15 - 1 = (3^5)^3 - 1 = (3^5 - 1)(3^10 + 3^5 + 1) và 3^5 - 1 chia hết cho 4).

Vì vậy, 2S chia hết cho 4.

Từ đó suy ra, S chia hết cho 2.

Vậy tổng các số hạng của A chia hết cho 4.

Tương tự, ta có thể chứng minh A chia hết cho 12 và cho 13 bằng cách sử dụng các tính chất của phép chia.

Vậy A chia hết cho 4, 12 và 13.