Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông.

Giả sử tam giác ABC là tam giác vuông tại A, với cạnh huyền BC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Ta cần chứng minh rằng AM = 1/2 BC.

Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:

AB² + AC² = BC²

Vì tam giác ABC là tam giác vuông, nên AB² + AC² = BC².

Ta biết rằng M là trung điểm của cạnh BC, nên BM = MC.

Vì vậy, ta có:

AM² + BM² = AB² (1)

AM² + MC² = AC² (2)

Từ (1) và (2), ta có:

AB² + AC² = AM² + BM² + AM² + MC²

AB² + AC² = 2AM² + BM² + MC²

Vì BM = MC, nên BM² + MC² = 2BM²

Vậy, ta có:

AB² + AC² = 2AM² + 2BM²

AB² + AC² = 2(AM² + BM²)

AB² + AC² = 2AM² + 2BM²

AB² + AC² = 2(AM² + BM²)

AB² + AC² = 2(AM² + (BM² + MC²))

AB² + AC² = 2(AM² + BC²/2)

AB² + AC² = 2AM² + BC²

Vì AB² + AC² = BC², nên ta có:

BC² = 2AM² + BC²

2AM² = BC² - BC²

2AM² = 0

AM² = 0

Vậy, ta có AM = 0.

Tuy nhiên, AM không thể bằng 0 vì AM là độ dài của một đoạn thẳng và không thể âm.

Vậy, giả định ban đầu là sai.

Do đó, ta kết luận rằng trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền không bằng nửa cạnh huyền.