Cho tam giác ABC nhọn có 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Đường thẳng B vuông góc với AB cắt đường thẳng qua C vuông góc với AC ở D. Gọi M là trung điểm của BC

Để chứng minh CM, H, M, D thẳng hàng, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng đi qua điểm H, ta có:
$\frac{AH}{HB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

Vì tam giác ABC nhọn, nên $\frac{AH}{HB} > 1$ và $\frac{CE}{EA} > 1$. Do đó, $\frac{BD}{DC} < 1$.

Vì đường thẳng B vuông góc với AB, nên $\angle ABD = 90^\circ$. Vì vậy, $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$.

Vì đường thẳng qua C vuông góc với AC, nên $\angle ACD = 90^\circ$. Vì vậy, $\frac{AB}{AC} = \frac{CD}{AD}$.

Kết hợp hai công thức trên, ta có $\frac{BD}{DC} = \frac{CD}{AD}$.

Do đó, $\frac{BD}{DC} = \frac{CD}{AD} < 1$.

Vậy, ta có $\frac{AH}{HB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$.

Từ đó, theo định lí Menelaus, ta có CM, H, M, D thẳng hàng.