Để chứng minh rằng biểu thức trên có thể viết dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức, ta sẽ mở ngoặc và rút gọn:

x^2 + 2(x + 1)^2 + 3(x + 2)^2 + 4(x + 3)^2
= x^2 + 2(x^2 + 2x + 1) + 3(x^2 + 4x + 4) + 4(x^2 + 6x + 9)
= x^2 + 2x^2 + 4x + 2 + 3x^2 + 12x + 12 + 4x^2 + 24x + 36
= 10x^2 + 44x + 50

Để biểu thức trên viết dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức, ta sẽ chia đều hệ số của các thành phần của biểu thức trên cho 2:

10x^2 + 44x + 50
= (5x^2 + 22x + 25) + (5x^2 + 22x + 25)
= (5x + 5)^2 + (2x + 5)^2

Vậy, biểu thức ban đầu có thể viết dưới dạng tổng của hai bình phương là (5x + 5)^2 + (2x + 5)^2.