Để chứng minh rằng biểu thức x(x - a)(x + a)(x + 2A) + a^4 là bình phương của một đa thức, ta cần tìm một đa thức P(x) sao cho P(x)^2 = x(x - a)(x + a)(x + 2A) + a^4.

Ta có thể thử giải bài toán bằng cách sử dụng phương pháp khai triển đa thức. Giả sử đa thức P(x) có dạng P(x) = bx^3 + cx^2 + dx + e, với b, c, d, e là các hệ số cần tìm.

Thay P(x) vào biểu thức P(x)^2, ta có:
P(x)^2 = (bx^3 + cx^2 + dx + e)^2
= b^2x^6 + 2bcx^5 + (2bd + c^2)x^4 + (2be + 2cd)x^3 + (2ce + d^2)x^2 + 2de x + e^2

So sánh các hệ số của biểu thức P(x)^2 với biểu thức ban đầu x(x - a)(x + a)(x + 2A) + a^4, ta có hệ phương trình sau:
b^2 = 1
2bc = 0
2bd + c^2 = -a^2
2be + 2cd = 0
2ce + d^2 = 2A^2
2de = 0
e^2 = a^4

Từ hệ phương trình trên, ta có thể suy ra các giá trị của b, c, d, e như sau:
b = 1
c = 0
d = 0
e = a^2

Vậy đa thức P(x) = x^3 + a^2 là một đa thức thỏa mãn điều kiện P(x)^2 = x(x - a)(x + a)(x + 2A) + a^4.

Vậy biểu thức x(x - a)(x + a)(x + 2A) + a^4 là bình phương của đa thức P(x) = x^3 + a^2.