a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lí Pythagoras, ta có:
AB² = AH² + BH² = 4² + 9² = 97
AC² = AH² + CH² = 4² + 9² = 97

Gọi x = AM và y = AN. Ta có:
BM = AB - AM = √97 - x
CN = AC - AN = √97 - y

Theo định lí hình chiếu, ta có:
BM² = BH.BN = 4.(√97 - y)
CN² = CH.CM = 9.(√97 - x)

Từ đó, ta có hệ phương trình:
BM² + CN² = 97
4.(√97 - y) + 9.(√97 - x) = 97
4√97 - 4y + 9√97 - 9x = 97
13√97 - 4y - 9x = 97

Vì AM.AB = AN.AC, nên x.(√97 - x) = y.(√97 - y)
x√97 - x² = y√97 - y²
x√97 - y√97 = x² - y²
(√97 - y)√97 = (x + y)(x - y)
97 - y² = (x + y)(x - y)

Kết hợp với hệ phương trình trên, ta có:
97 - y² = (x + y)(x - y)
97 - y² = (13√97 - 9x)(x - y)
97 - y² = 13x√97 - 9x² - 13y√97 + 9xy
97 - y² = 13x√97 - 9x² - 13y√97 + 9xy
97 - y² - 13x√97 + 9x² + 13y√97 - 9xy = 0
(9x² - 9xy) + (13y√97 - 13x√97) + (97 - y²) = 0
9x(x - y) + 13√97(y - x) + (97 - y²) = 0

Vì x ≠ y, nên ta có:
9(x - y) + 13√97(y - x) + (97 - y²) = 0
9x - 9y + 13√97y - 13√97x + 97 - y² = 0
-4x - 4y + 13√97y - 13√97x + 97 - y² = 0
-4(x + y) + 13√97(y - x) + (97 - y²) = 0
-4(x + y) + 13√97(y - x) + (97 - y²) = 0

Vậy ta có AM.AB = AN.AC.

b) Ta có:
MN = BM + CN = (√97 - x) + (√97 - y) = 2√97 - (x + y)

c) Diện tích tứ giác BMNC là tổng diện tích 2 tam giác BMN và CNM.
Diện tích tam giác BMN = 1/2 * BM * MN = 1/2 * (√97 - x) * (2√97 - (x + y))
Diện tích tam giác CNM = 1/2 * CN * MN = 1/2 * (√97 - y) * (2√97 - (x + y))

Vậy diện tích tứ giác BMNC là:
Diện tích tứ giác BMNC = Diện tích tam giác BMN + Diện tích tam giác CNM
= 1/2 * (√97 - x) * (2√97 - (x + y)) + 1/2 * (√97 - y) * (2√97 - (x + y))