a) Để giải tam giác vuông ABC, ta sử dụng định lý Pythagoras:
Theo định lý Pythagoras, trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

Áp dụng vào tam giác ABC:
AB² + BC² = AC²
10² + 20² = AC²
100 + 400 = AC²
500 = AC²
AC = √500
AC = 10√5 cm

Vậy cạnh AC của tam giác ABC là 10√5 cm.

b) Kẻ AH vuông góc BC.
Theo định lý Pythagoras, trong một tam giác vuông, đường cao vuông góc với cạnh huyền chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn.

Áp dụng vào tam giác ABC:
AH² + BH² = AB²
AH² + BH² = 10²
AH² + BH² = 100

AH² + CH² = AC²
AH² + CH² = (10√5)²
AH² + CH² = 500

Vì AH vuông góc với BC, nên AH + CH = BC
AH + CH = 20

Giải hệ phương trình:
AH² + BH² = 100
AH² + CH² = 500
AH + CH = 20

Từ phương trình AH + CH = 20, suy ra CH = 20 - AH.

Thay CH = 20 - AH vào phương trình AH² + CH² = 500:
AH² + (20 - AH)² = 500
AH² + 400 - 40AH + AH² = 500
2AH² - 40AH + 400 = 500
2AH² - 40AH - 100 = 0
AH² - 20AH - 50 = 0

Giải phương trình bậc hai này, ta có:
AH = (20 ± √(20² - 4*1*(-50))) / (2*1)
AH = (20 ± √(400 + 200)) / 2
AH = (20 ± √600) / 2
AH = (20 ± 10√6) / 2
AH = 10 ± 5√6

Vì AH là độ dài cạnh của tam giác, nên AH không thể là số âm. Vậy ta chỉ lấy AH = 10 + 5√6.

Thay AH = 10 + 5√6 vào CH = 20 - AH, ta có:
CH = 20 - (10 + 5√6)
CH = 10 - 5√6

Vậy AH = 10 + 5√6 cm, BH = 10 cm và CH = 10 - 5√6 cm.