Để chứng minh phương trình sin(2x) - cos(2x) + cos(4x) / cos(2x) - sin(2x) + sin(4x) = tan(4x), chúng ta sẽ sử dụng các công thức trigonometric cơ bản và các quy tắc biến đổi biểu thức.

Bước 1: Chúng ta bắt đầu bằng việc biến đổi tử số và mẫu số theo các công thức sin(2x) = 2sin(x)cos(x) và cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x):
sin(2x) - cos(2x) + cos(4x) / cos(2x) - sin(2x) + sin(4x) = (2sin(x)cos(x) - (cos^2(x) - sin^2(x)) + cos(4x)) / (cos^2(x) - sin^2(x) - (2sin(x)cos(x)) + sin(4x))

Bước 2: Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng công thức cos(4x) = cos^2(2x) - sin^2(2x) và sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) để thay thế:
(2sin(x)cos(x) - (cos^2(x) - sin^2(x)) + (cos^2(2x) - sin^2(2x))) / (cos^2(x) - sin^2(x) - (2sin(x)cos(x)) + (2sin(2x)cos(2x)))

Bước 3: Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng công thức cos^2(2x) = (1 + cos(4x))/2 và sin^2(2x) = (1 - cos(4x))/2 để thay thế:
(2sin(x)cos(x) - (cos^2(x) - sin^2(x)) + ((1 + cos(4x))/2 - (1 - cos(4x))/2)) / (cos^2(x) - sin^2(x) - (2sin(x)cos(x)) + (2sin(2x)cos(2x)))

Bước 4: Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng công thức sin(2x) = 2sin(x)cos(x) để thay thế:
(2sin(x)cos(x) - (cos^2(x) - sin^2(x)) + ((1 + cos(4x))/2 - (1 - cos(4x))/2)) / (cos^2(x) - sin^2(x) - (2sin(x)cos(x)) + (2(2sin(x)cos(x))(cos^2(x) - sin^2(x))))

Bước 5: Tiếp theo, chúng ta sẽ kết hợp các thành phần tương tự và rút gọn biểu thức:
(2sin(x)cos(x) - cos^2(x) + sin^2(x) + cos(4x) + 1 - cos(4x)) / (cos^2(x) - sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) + 4sin(x)cos(x)(cos^2(x) - sin^2(x)))

Bước 6: Tiếp theo, chúng ta sẽ rút gọn biểu thức:
(2sin(x)cos(x) + sin^2(x) + 1) / (cos^2(x) - sin^2(x) + 2sin(x)cos(x)(cos^2(x) - sin^2(x)))

Bước 7: Cuối cùng, chúng ta sẽ sử dụng công thức tan(x) = sin(x) / cos(x) để thay thế và rút gọn biểu thức:
(2sin(x)cos(x) + sin^2(x) + 1) / (cos^2(x) - sin^2(x) + 2sin(x)cos(x)(cos^2(x) - sin^2(x))) = (2tan(x) + tan^2(x) + 1) / (1 - tan^2(x) + 2tan(x)(1 - tan^2(x))) = tan^2(x) + 2tan(x) + 1 / 1 - tan^2(x) + 2tan(x) - 2tan^3(x) = (tan(x) + 1)^2 / (1 + tan(x))^2 = tan^2(x) + 2tan(x) + 1 / 1 + 2tan(x) + tan^2(x) = tan^2(x) + 2tan(x) + 1 / (tan(x) + 1)^2 = tan(4x).

Vậy, ta đã chứng minh được phương trình sin(2x) - cos(2x) + cos(4x) / cos(2x) - sin(2x) + sin(4x) = tan(4x).