Để chứng minh rằng \(3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^{n} - 2^{n}\) chia hết cho 10 với mọi \(n\) nguyên dương, ta có thể phân tích biểu thức như sau:

### Bước 1: Chia thành những phần dễ tính hơn

Ta có thể viết lại biểu thức:

\[
3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^{n} - 2^{n} = (3^{n+2} + 3^{n}) - (2^{n+2} + 2^{n})
\]

### Bước 2: Tính từng phần riêng biệt

**Tính \(3^{n+2} + 3^{n}\)**:

\[
3^{n+2} + 3^{n} = 3^{n}(3^{2} + 1) = 3^{n}(9 + 1) = 10 \cdot 3^{n}
\]

**Tính \(2^{n+2} + 2^{n}\)**:

\[
2^{n+2} + 2^{n} = 2^{n}(2^{2} + 1) = 2^{n}(4 + 1) = 5 \cdot 2^{n}
\]

### Bước 3: Thay vào biểu thức

Giờ ta thay vào biểu thức ban đầu:

\[
10 \cdot 3^{n} - 5 \cdot 2^{n}
\]

### Bước 4: Xem xét modulo 10

Để chứng minh rằng biểu thức này chia hết cho 10, ta chỉ cần chú ý đến phần số hạng thứ hai:

\[
10 \cdot 3^{n} \equiv 0 \mod 10
\]

Vậy chỉ cần xem xét \(5 \cdot 2^{n} \mod 10\):

- Nếu \(n \geq 1\), ta có:

\[
2^{1} \equiv 2 \mod 10 \Rightarrow 5 \cdot 2^{1} \equiv 10 \equiv 0 \mod 10
\]

- Khi \(n = 2\):

\[
5 \cdot 2^{2} \equiv 20 \equiv 0 \mod 10
\]

- Khi \(n = 3\):

\[
5 \cdot 2^{3} \equiv 40 \equiv 0 \mod 10
\]

Như vậy, cho mọi \(n \geq 1\), \(5 \cdot 2^{n} \equiv 0 \mod 10\).

### Kết luận

Ta đã chứng minh rằng:

\[
10 \cdot 3^{n} - 5 \cdot 2^{n} \equiv 0 \mod 10
\]

Do đó, \(3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^{n} - 2^{n}\) chia hết cho 10 với mọi \(n\) nguyên dương.