Ta có:
- Vì AD, BN, CM đồng quy tại K nên theo định lí Ceva ta có:
$\frac{BD}{DC}.\frac{CM}{MA}.\frac{AN}{NB}=1$
Vì $BD=DK$ nên $\frac{BD}{DC}=\frac{DK}{DC}=1$
Do đó, $\frac{CM}{MA}.\frac{AN}{NB}=1$
- Ta có $\angle ADB=120^\circ$ nên $\angle ADC=360^\circ-\angle ADB=240^\circ$
- Gọi I là giao điểm của BN và CM. Ta có $\angle BIC=180^\circ-\angle ADB=60^\circ$
- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có $\angle BOC=2\angle BAC=2\angle BIC=120^\circ$
- Kẻ đường thẳng DO cắt AB tại F. Ta có $\angle BFO=\angle BCO-\angle BCF=120^\circ-\angle BCF=\angle BCF$
Vậy tam giác BCF cân tại B.
- Do đó, $BF=BC$
- Ta có $\angle BCF=\angle BFO=\angle BDO=\angle BDE$
Vậy tam giác BCF đồng dạng với tam giác BDE.
- Vì $BF=BC$ nên $BF=BC=BD$
- Ta có $\angle BDF=\angle BCF=\angle BDE$
Vậy tam giác BDF đồng dạng với tam giác BDE.
- Do đó, $\frac{DF}{DE}=\frac{BD}{BC}=1$
- Vậy $DF=DE$
- Ta có $\angle DFC=\angle BFC-\angle BFD=\angle BAC-\angle BDE=\angle BAC-\angle BCF=\angle BAC-\angle BOC=0^\circ$
Vậy F là trung điểm của DC.
- Do đó, $DC=2DF=2DE$
Vậy $DC=DE$