Để tính các giá trị BH, CH, AC và AH, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông.

Theo định lý Pythagoras, trong tam giác vuông ABC, ta có:

AB² + BC² = AC²

3² + 5² = AC²

9 + 25 = AC²

34 = AC²

Vậy AC = √34 cm.

Do tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC.

Vì AH là đường cao, nên AH vuông góc với BC. Khi đó, ta có:

AH² + BH² = AB²

AH² + BH² = 3²

AH² + BH² = 9

Vì AH cũng là đường cao, nên AH vuông góc với AC. Khi đó, ta có:

AH² + CH² = AC²

AH² + CH² = 34

Từ hai phương trình trên, ta có hệ phương trình:

AH² + BH² = 9

AH² + CH² = 34

Giải hệ phương trình này, ta có:

BH² - CH² = 9 - 34

BH² - CH² = -25

(BH - CH)(BH + CH) = -25

Vì BH và CH là độ dài các cạnh của tam giác, nên chúng phải là các số dương. Vì vậy, ta có:

BH + CH = 5

BH - CH = -5

Giải hệ phương trình này, ta có:

BH = 0.5 cm

CH = 4.5 cm

Vậy BH = 0.5 cm, CH = 4.5 cm, AC = √34 cm và AH là đường cao của tam giác ABC.