Chứng minh các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến

Để biểu thức luôn dương, ta cần tìm điều kiện để biểu thức không có nghiệm hoặc có nghiệm nhưng không nằm trong miền giá trị của biến.

1. B = 2x^2 + 4x + 5 luôn âm:
Để biểu thức này luôn âm, ta cần tìm điều kiện để đồ thị của hàm số này không cắt trục hoành. Điều này xảy ra khi delta (b^2 - 4ac) của phương trình bậc hai này nhỏ hơn 0.
Delta = (4^2) - 4(2)(5) = 16 - 40 = -24
Vì delta < 0, nên biểu thức B = 2x^2 + 4x + 5 luôn âm với mọi giá trị của biến x.

2. A = 12x - 4x^2 - 11 luôn âm:
Để biểu thức này luôn âm, ta cần tìm điều kiện để đồ thị của hàm số này không cắt trục hoành. Điều này xảy ra khi delta (b^2 - 4ac) của phương trình bậc hai này nhỏ hơn 0.
Delta = (12^2) - 4(-4)(-11) = 144 - 176 = -32
Vì delta < 0, nên biểu thức A = 12x - 4x^2 - 11 luôn âm với mọi giá trị của biến x.

3. B = x - x^2 - 1 luôn âm:
Để biểu thức này luôn âm, ta cần tìm điều kiện để đồ thị của hàm số này không cắt trục hoành. Điều này xảy ra khi delta (b^2 - 4ac) của phương trình bậc hai này nhỏ hơn 0.
Delta = (-1^2) - 4(-1)(-1) = 1 - 4 = -3
Vì delta < 0, nên biểu thức B = x - x^2 - 1 luôn âm với mọi giá trị của biến x.

4. A = x^2 - 2x - 1 luôn âm:
Để biểu thức này luôn âm, ta cần tìm điều kiện để đồ thị của hàm số này không cắt trục hoành. Điều này xảy ra khi delta (b^2 - 4ac) của phương trình bậc hai này nhỏ hơn 0.
Delta = (-2^2) - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8
Vì delta > 0, nên biểu thức A = x^2 - 2x - 1 không luôn âm với mọi giá trị của biến x.

5. B = 3x^2 - 6x - 1 luôn âm:
Để biểu thức này luôn âm, ta cần tìm điều kiện để đồ thị của hàm số này không cắt trục hoành. Điều này xảy ra khi delta (b^2 - 4ac) của phương trình bậc hai này nhỏ hơn 0.
Delta = (-6^2) - 4(3)(-1) = 36 + 12 = 48
Vì delta > 0, nên biểu thức B = 3x^2 - 6x - 1 không luôn âm với mọi giá trị của biến x.

6. A = -x^2 - 4x không có điều kiện để luôn âm với mọi giá trị của biến x.