a) Chứng minh AHBD là hình chữ nhật:
Ta có tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường cao và cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Vì vậy, ta có AM = MB và AN = NC.
Vì M là trung điểm của HD, nên ta có HM = MD. Tương tự, ta có HN = NE.
Kết hợp với AM = MB và AN = NC, ta có:
HM = MD = AM - AH = MB - AH = HB
HN = NE = AN - AH = NC - AH = HC
Vậy ta có HB = HM = HD và HC = HN = HE.
Do đó, ta có AHBD là hình chữ nhật.

Tương tự, ta có AHCE và BCED cũng là hình chữ nhật.

b) Giao điểm của BE và CD là trung điểm của AH:
Gọi I là giao điểm của BE và CD.
Ta có: MI // AH (vì M là trung điểm của HD và AH là đường cao)
Vì vậy, ta có MI = AH/2.
Tương tự, ta có NI = AH/2.
Do đó, ta có MI = NI.
Vậy giao điểm của BE và CD là trung điểm của AH.

c) DH = HE và BE = CD:
Vì M là trung điểm của HD, nên ta có HM = MD.
Tương tự, ta có HN = NE.
Vì M là trung điểm của AB, nên ta có AM = MB.
Tương tự, ta có AN = NC.
Kết hợp với AM = MB và AN = NC, ta có:
HM = MD = AM - AH = MB - AH = HB
HN = NE = AN - AH = NC - AH = HC
Vậy ta có HB = HM = HD và HC = HN = HE.
Do đó, ta có DH = HE và BE = CD.