Chứng minh rằng tam giác MDE cân

Ta có tam giác MNP cân tại M, nên đường phân giác trong của tam giác MNP cắt MN tại I sao cho MI là đường cao của tam giác MNP.

Vì tam giác MNP cân, nên đường phân giác trong của tam giác MNP cắt NP tại I' sao cho MI' là đường cao của tam giác MNP.

Do đó, ta có MI = MI'.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên MN.

Ta có DH là đường cao của tam giác MNP, nên DH = 2√5.

Vì tam giác MNP cân, nên DH cũng là đường cao của tam giác MDE.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của E lên MN.

Ta có DK là đường cao của tam giác MDE, nên DK = 2√5.

Vậy tam giác MDE cân tại D.

Từ tam giác vuông MND, ta có:

MN^2 = MD^2 + DN^2

MN^2 = (2√5)^2 + 3^2

MN^2 = 20 + 9

MN^2 = 29

Vậy MN = √29.