Tìm giá tri lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức x + 2y + 3z, ta sẽ sử dụng phương pháp Lagrange nhân tử.

Đặt hàm Lagrange:
L(x, y, z, λ) = x + 2y + 3z + λ(3x² + 5y² + 10z² + 2xy + 12yz + 4xz - 36)

Đạo hàm riêng của L theo x, y, z:
∂L/∂x = 1 + 6x + 2y + 4zλ = 0
∂L/∂y = 2 + 2x + 10y + 12zλ = 0
∂L/∂z = 3 + 12y + 20z + 4xλ = 0

Đạo hàm riêng của L theo λ:
∂L/∂λ = 3x² + 5y² + 10z² + 2xy + 12yz + 4xz - 36 = 0

Giải hệ phương trình này, ta có:
6x + 2y + 4zλ = -1
2x + 10y + 12zλ = -2
4x + 12y + 20z + 4xλ = -3
3x² + 5y² + 10z² + 2xy + 12yz + 4xz = 36

Giải hệ phương trình này, ta tìm được các giá trị của x, y, z và λ. Sau đó, ta thay các giá trị này vào biểu thức x + 2y + 3z để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.