Cho tam giác ABC cân tại C, BK là đường trung tuyến. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BC = BM

a) Ta có tam giác ABC cân tại C và BK là đường trung tuyến, suy ra BK song song với AC (vì đường trung tuyến song song với cạnh đối của tam giác).

Gọi I là giao điểm của BM và AC. Ta cần chứng minh BK // AM, tức là chứng minh tam giác BIM cân tại I.

Vì BM = BC và BK // AC, ta có:
∠BIM = ∠BIC (cùng chắn cung BC)
∠BIC = ∠BAC (cùng chắn cung BC)
∠BIM = ∠BAC

Vì tam giác ABC cân tại C, ta có:
∠BAC = ∠BCA

Do đó, ∠BIM = ∠BCA.

Vì BK // AC, ta có:
∠BCA = ∠BKC (song song cắt bởi các đường chéo BM và AC)

Vậy, ∠BIM = ∠BKC.

Từ đó, ta có tam giác BIM cân tại I.

Vậy, BK // AM.

b) Gọi N là giao điểm của trung tuyến AN và đường thẳng BM.

Ta cần chứng minh AN = 1/2 AM.

Vì BM = BC và BK // AC, ta có:
∠BKC = ∠BAC (cùng chắn cung BC)

Vì tam giác ABC cân tại C, ta có:
∠BAC = ∠BCA

Do đó, ∠BKC = ∠BCA.

Vì BK // AC, ta có:
∠BCA = ∠BAN (song song cắt bởi các đường thẳng BN và AC)

Từ đó, ta có tam giác BAN cân tại A.

Vậy, AN = AM.

Từ đó, ta có AN = 1/2 AM.