Chứng minh BEOH và BEFA là các hình bình hành

Để chứng minh các phần a, b, c, ta sẽ sử dụng các định lí về đường thẳng đồng quy và đường thẳng chéo qua tam giác.

a) Chứng minh BEOH là hình bình hành:
Ta có tam giác OBC cân tại O, nên OB = OC. Đường thẳng qua B vuông góc với BO cắt đường thẳng qua C vuông góc với OC tại A. Khi đó, ta có tam giác ABC vuông tại A.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên đường thẳng qua B vuông góc với BC cắt CO kéo dài tại D.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt AB kéo dài tại E.
Vậy ta có BE ⊥ AC và CE ⊥ AB.
Do đó, BEOH là hình bình hành vì có hai cạnh đối nhau là BE và OH vuông góc với nhau.

b) Chứng minh MN = (AO - BD)/2:
Ta có tam giác OBC cân tại O, nên OB = OC. Đường thẳng qua B vuông góc với BO cắt đường thẳng qua C vuông góc với OC tại A. Khi đó, ta có tam giác ABC vuông tại A.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên đường thẳng qua B vuông góc với BC cắt CO kéo dài tại D.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt AB kéo dài tại E.
Vậy ta có BE ⊥ AC và CE ⊥ AB.
Gọi N là trung điểm của AD. Khi đó, ta có MN là đường trung bình của tam giác ABD.
Theo định lí đường trung bình trong tam giác, ta có MN = (AO + BD)/2.
Vì OB = OC, nên AO = OC.
Vậy MN = (AO - BD)/2.

c) Chứng minh IA = IO:
Ta có tam giác OBC cân tại O, nên OB = OC. Đường thẳng qua B vuông góc với BO cắt đường thẳng qua C vuông góc với OC tại A. Khi đó, ta có tam giác ABC vuông tại A.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên đường thẳng qua B vuông góc với BC cắt CO kéo dài tại D.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt AB kéo dài tại E.
Vậy ta có BE ⊥ AC và CE ⊥ AB.
Gọi N là trung điểm của AD. Khi đó, ta có MN là đường trung bình của tam giác ABD.
Gọi I là giao điểm của đường thẳng M vuông góc với HE và đường thẳng N vuông góc với EF.
Vì MN là đường trung bình của tam giác ABD, nên I là trung điểm của MN.
Vì BEOH là hình bình hành, nên BE = OH.
Vì BEFA là hình bình hành, nên EF = BA.
Vì I là trung điểm của MN, nên IA = IO.
Vậy ta có IA = IO.