Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức căn x + 3/căn x - 2, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm.

Gọi f(x) = căn x + 3/căn x - 2.

Để tìm giá trị lớn nhất của f(x), ta cần tìm điểm cực đại của f(x). Điểm cực đại xảy ra khi đạo hàm của f(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

f'(x) = (1/2√x) - (3/2(√x - 2)^2)

Để tìm điểm cực đại, ta giải phương trình f'(x) = 0:

(1/2√x) - (3/2(√x - 2)^2) = 0

Nhân cả hai vế của phương trình với 2√x để loại bỏ mẫu số:

√x - 3(√x - 2)^2 = 0

Mở ngoặc và rút gọn:

√x - 3(√x^2 - 4√x + 4) = 0

√x - 3√x^2 + 12√x - 12 = 0

-3√x^2 + 13√x - 12 = 0

Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp giải phương trình bậc hai. Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng máy tính hoặc phần mềm đồ họa để tìm nghiệm gần đúng.

Sau khi tìm được nghiệm x ≈ 3.17, ta thay giá trị này vào biểu thức f(x) để tìm giá trị lớn nhất:

f(3.17) ≈ 2.62

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức căn x + 3/căn x - 2 là khoảng 2.62.