Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC

a) Trong hình tam giác ABC, ta có các hình thang sau:
- Hình thang BDEC: có đáy là đoạn thẳng DE và đáy đối là đoạn thẳng BC.
- Hình thang BIDC: có đáy là đoạn thẳng BC và đáy đối là đoạn thẳng ID.
- Hình thang CIEA: có đáy là đoạn thẳng BC và đáy đối là đoạn thẳng IE.

b) Ta cần chứng minh tam giác BDI và tam giác IEC là các tam giác cân.
- Ta có IB là tia phân giác của góc B, do đó IB cắt đoạn thẳng AC tại một điểm F sao cho BF = FA.
- Ta cũng có IC là tia phân giác của góc C, do đó IC cắt đoạn thẳng AB tại một điểm G sao cho CG = GA.
- Khi đó, ta có:
+ Trong tam giác BDI, ta có BD là đoạn thẳng song song với CE, do đó BD cắt đoạn thẳng AC tại một điểm H sao cho BH = HA.
+ Trong tam giác IEC, ta có IE là đoạn thẳng song song với BD, do đó IE cắt đoạn thẳng AB tại một điểm K sao cho CK = KA.
- Từ các điểm F, G, H, K, ta có BF = FA, CG = GA, BH = HA, CK = KA.
- Vậy tam giác BDI và tam giác IEC là các tam giác cân.

c) Ta cần chứng minh rằng hình thang BDEC có một đáy bằng tổng độ dài hai cạnh bên.
- Ta có BD || CE (do BD và CE là các tia phân giác của các góc B và C), do đó hình thang BDEC là hình thang có hai đáy song song.
- Gọi M là giao điểm của BD và CE. Ta có:
+ Trong tam giác BDM, ta có BM là tia phân giác của góc B, do đó BM cắt đoạn thẳng AC tại một điểm N sao cho BN = NA.
+ Trong tam giác CEM, ta có CM là tia phân giác của góc C, do đó CM cắt đoạn thẳng AB tại một điểm P sao cho CP = PA.
- Từ các điểm M, N, P, ta có BM = NA, CM = PA.
- Vậy hình thang BDEC có một đáy bằng tổng độ dài hai cạnh bên.