Giả sử số chi tiết máy mà tổ I sản xuất trong tháng đầu là x, số chi tiết máy mà tổ II sản xuất trong tháng đầu là y.

Theo đề bài, tổ I sản xuất vượt mức 15% nên số chi tiết máy mà tổ I sản xuất trong tháng thứ hai là x + 0.15x = 1.15x.

Tương tự, tổ II sản xuất vượt mức 20% nên số chi tiết máy mà tổ II sản xuất trong tháng thứ hai là y + 0.20y = 1.20y.

Tổng số chi tiết máy mà cả hai tổ sản xuất được trong tháng thứ hai là 352, nên ta có phương trình:

x + 1.15x + y + 1.20y = 352.

Kết hợp với thông tin trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất được 300 chi tiết máy, ta có phương trình:

x + y = 300.

Giải hệ phương trình này, ta có:

1.15x + 1.20y = 352 - 300,

1.15x + 1.20y = 52.

Nhân cả hai vế của phương trình này cho 100 để loại bỏ dấu phẩy, ta có:

115x + 120y = 5200.

Nhân phương trình x + y = 300 cho 115, ta có:

115x + 115y = 34500.

Trừ phương trình (115x + 120y = 5200) cho phương trình (115x + 115y = 34500), ta có:

5y = 29300.

Do đó, y = 5860.

Thay giá trị của y vào phương trình x + y = 300, ta có:

x + 5860 = 300,

x = 300 - 5860,

x = -5560.

Vì không thể có số âm chi tiết máy, nên không có giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Vậy, không có giải pháp cho bài toán.