a) Ta có tam giác ABC nhọn, nên đường cao BD cắt đường cao CE tại một điểm O nằm trong tam giác ABC. Khi đó, ta có:
- Tam giác ABD và tam giác ACD đồng dạng (cùng có góc vuông tại A), nên tỉ số độ dài các cạnh tương ứng bằng nhau:
AB/AD = BD/CD
- Tam giác ABE và tam giác ADE đồng dạng (cùng có góc vuông tại A), nên tỉ số độ dài các cạnh tương ứng bằng nhau:
AE/AD = BE/DE
Từ hai phương trình trên, ta có:
AB/AD = BD/CD = BE/DE
Suy ra AE/AD = BE/DE
Do đó, ta có AE.AB = AD^2 (1)

b) Ta có tam giác ABC nhọn, nên đường cao BD cắt đường cao CE tại một điểm O nằm trong tam giác ABC. Khi đó, ta có:
- Tam giác ABD và tam giác ACD đồng dạng (cùng có góc vuông tại A), nên tỉ số độ dài các cạnh tương ứng bằng nhau:
AB/AD = BD/CD
- Tam giác ABE và tam giác ADE đồng dạng (cùng có góc vuông tại A), nên tỉ số độ dài các cạnh tương ứng bằng nhau:
AE/AD = BE/DE
Từ hai phương trình trên, ta có:
AB/AD = BD/CD = BE/DE
Suy ra AB/AD = DE/BC
Do đó, ta có AB.BC = AD.DE (2)

c) Góc α là góc giữa đường cao BD và cạnh BC, nên cos α = BD/BC
Từ phương trình (2), ta có AB.BC = AD.DE
Chia cả hai vế của phương trình trên cho BC^2, ta được:
AB/BC = AD.DE/BC^2
Khi đó, ta có:
cos α = BD/BC = AB/BC = AD.DE/BC^2
Suy ra DE = BC.cos α (3)

Với góc BAC = 60 độ, ta có:
- Tam giác ABC là tam giác đều, nên AB = BC
- Góc BAC = 60 độ, nên góc ABC = 180 - 60 - 90 = 30 độ
- Góc ABD = 90 - góc ABC = 90 - 30 = 60 độ
- Góc ADB = 180 - góc ABD - góc BAD = 180 - 60 - 90 = 30 độ
- Tam giác ABD là tam giác đều, nên AB = AD
Từ đó, ta có:
AB = BC = AD
Do đó, ta có AE.AB = AD^2 = AB^2
Suy ra AE = AB
Từ phương trình (1), ta có:
AE.AB = AD^2
AB^2 = AD^2
AB = AD
Vậy tam giác MDE là tam giác đều.