a) Ta có E là trung điểm CD và F là trung điểm AB, suy ra EF song song với BC và EF = 1/2 BC.
Vì DB là đường chéo của hình bình hành ABCD nên DB chia AC thành hai đoạn bằng nhau, suy ra DN = NC.
Do đó, ta có AE = DN + NE = NC + NE = EC.
Tương tự, ta có CK = KB.
Vậy AECK là hình bình hành.

b) Ta có DN = NC và DB là đường chéo của hình bình hành ABCD, suy ra DN song song với BC.
Vì DN song song với BC và EF song song với BC, nên DN // EF.
Do đó, theo định lí Thales, ta có O, E, K thẳng hàng.

c) Ta có DN = NC và DB là đường chéo của hình bình hành ABCD, suy ra DN song song với BC.
Vì DN song song với BC và DB là đường chéo của hình bình hành ABCD, nên DN cắt DB tại trung điểm M của DB.
Do đó, ta có DN = NM.
Tương tự, ta có MB = NM.
Vậy DN = NM = MB.

d) Ta có DN = NM = MB.
Vì DN = NC và DB là đường chéo của hình bình hành ABCD, suy ra DN song song với BC.
Vì DN song song với BC và EF song song với BC, nên DN // EF.
Do đó, theo định lí Thales, ta có DN/NE = DC/CF.
Vì DN = NM và EF = 1/2 BC, suy ra DN/NE = 2.
Từ đó, ta có 2 = DC/CF.
Vì DC = AE và CF = 1/2 AB, suy ra 2 = AE/(1/2 AB).
Từ đó, ta có AE = 3/2 AB.
Vì F là trung điểm AB, suy ra AF = 1/2 AB.
Vậy AE = AF + EF = 1/2 AB + 1/2 BC = 1/2 (AB + BC) = 1/2 AD.
Từ đó, ta có AE = 1/2 AD = 3/2 AF.
Vì DN = NM và AE = 3/2 AF, suy ra AE = 3 KM.