a) Ta có tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC.
Kẻ BD vuông góc với AC, nên tam giác ABD vuông tại D.
Kẻ CE vuông góc với AB, nên tam giác ACE vuông tại E.

Vì tam giác ABC cân nên AB = AC, từ đó suy ra tam giác ABD và tam giác ACE có cạnh AB bằng nhau.
Vì AD vuông góc với AB và AE vuông góc với AC, nên AD = AE.

Vậy ta có AD = AE.

b) Ta có tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC.
Kẻ BD vuông góc với AC, nên tam giác ABD vuông tại D.
Kẻ CE vuông góc với AB, nên tam giác ACE vuông tại E.

Ta có góc A < 90 độ, nên tam giác ABC là tam giác nhọn.
Vì tam giác ABC cân nên AB = AC, từ đó suy ra tam giác ABD và tam giác ACE có cạnh AB bằng nhau.
Vậy ta có BD = CE.

Ta có góc A < 90 độ, nên tam giác ABC là tam giác nhọn.
Vì BD vuông góc với AC và CE vuông góc với AB, nên góc BDC = góc CEB = 90 độ.
Từ đó suy ra tam giác BDC và tam giác CEB là tam giác vuông.

Vậy ta có BD = CE và góc BDC = góc CEB = 90 độ, nên tam giác BDC và tam giác CEB là hai tam giác vuông có cạnh chung BC.
Do đó, ta có DE // BC.

c) Gọi I là trung điểm của BD và CE, ta có AI song song với DE (do AI là đường trung trực của DE).
Gọi H là giao điểm của AI và BC.

Ta có tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC.
Kẻ BD vuông góc với AC, nên tam giác ABD vuông tại D.
Kẻ CE vuông góc với AB, nên tam giác ACE vuông tại E.

Vì tam giác ABC cân nên AB = AC, từ đó suy ra tam giác ABD và tam giác ACE có cạnh AB bằng nhau.
Vậy ta có BD = CE.

Gọi I là trung điểm của BD và CE, ta có BI = ID và CI = IE.

Ta có góc A < 90 độ, nên tam giác ABC là tam giác nhọn.
Vì BD vuông góc với AC và CE vuông góc với AB, nên góc BDC = góc CEB = 90 độ.
Từ đó suy ra tam giác BDC và tam giác CEB là hai tam giác vuông có cạnh chung BC.

Gọi H là giao điểm của AI và BC, ta có AH = HI.

Vậy ta có BD = CE, BI = ID, CI = IE và AH = HI.

Do đó, ta có tam giác IDE cân và HB = HC.