a) Ta có OA = 2R, với O là tâm đường tròn và A là điểm nằm trên đường tròn. Khi đó, ta có tam giác OAB vuông tại A (do OA là đường phân giác góc BAO) và AO là đường cao của tam giác OAB.

Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc BAO = góc BAC = 90 độ. Do đó, tam giác OAB là tam giác vuông cân tại A.

Tiếp theo, ta có góc BAC = góc BNC (do ABNC là hình thoi) và góc BAC = góc BHC (do ABHC nằm trên cung cùng nửa đường tròn). Vậy ta có góc BNC = góc BHC.

Từ đó, ta có tam giác BNC và tam giác BHC có cùng một góc và cùng một cạnh BC chung, nên chúng đồng dạng. Vậy tam giác ABC đều và ABNC là hình thoi.

b) Ta có góc BAC = góc BNC (do ABNC là hình thoi) và góc BAC = góc BHC (do ABHC nằm trên cung cùng nửa đường tròn). Vậy ta có góc BNC = góc BHC.

Từ đó, ta có tam giác BNC và tam giác BHC có cùng một góc và cùng một cạnh BC chung, nên chúng đồng dạng. Vậy tam giác BHC cũng là tam giác vuông cân tại B.

Do đó, ta có góc BHC = 90 độ và góc BNC = 90 độ. Vậy ta có tam giác BNC và tam giác BHC là tam giác vuông.

Vì M là điểm nằm trên cung nhỏ BC, nên góc MOC = góc MNC (do ABNC là hình thoi). Như vậy, ta có tam giác MOC và tam giác MNC có cùng một góc và cùng một cạnh MC chung, nên chúng đồng dạng.

Từ đó, ta có góc MOC = góc MNC. Vậy tam giác MOC cũng là tam giác vuông.

Vì tam giác MOC là tam giác vuông, nên đường trung tuyến MN là đường cao của tam giác MOC. Vậy M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

c) Vẽ đường kính CD. Ta cần chứng minh BD // AO.

Gọi I là giao điểm của BD và AO. Ta cần chứng minh góc AIB = 90 độ.

Vì tam giác BHC là tam giác vuông cân tại B, nên góc BHC = 90 độ. Do đó, góc BHC + góc BAC = 180 độ.

Từ đó, ta có góc BAC = 180 độ - góc BHC = góc BIC.

Vậy góc AIB = góc BAC = góc BIC = 90 độ. Vậy ta có BD // AO.