Cho tam giác abc d là điểm chính giữa của ac

Để so sánh tam giác BGC và ABG, ta cần tìm các thông tin về các góc và cạnh của hai tam giác này.

Gọi M là trung điểm của AB. Ta có:

- Vì D là điểm chính giữa AC nên AD = DC.
- Vì AE = 2EB nên AM = 3ME.
- G là giao điểm của BD và CE.

Ta cần chứng minh BG = AG và G là trung điểm của BC.

Ta có:

- Vì D là điểm chính giữa AC nên AD = DC. Mà AM = 3ME nên ta có AM = 3/4 AC và MC = 1/4 AC.
- Vì AE = 2EB nên ta có AM = 3/4 AB và MB = 1/4 AB.
- Vì M là trung điểm của AB nên BM = MA.
- Vì G là giao điểm của BD và CE nên ta có:

+ AG/GB = AD/DB (theo định lý đồng quy của tam giác)
+ CG/GE = CD/DE (theo định lý đồng quy của tam giác)

Từ đó suy ra AG/GB = CD/DB và CG/GE = CD/DE.

- Từ AM = 3/4 AB và BM = MA, ta có AM/MB = 3/1.
- Từ AG/GB = CD/DB và CG/GE = CD/DE, ta có AG/GB = CG/GE.

Từ các phương trình trên, ta có:

AG/GB = CG/GE = AM/MB = 3/1.

Vậy ta có BG = AG và G là trung điểm của BC.

Do đó, tam giác BGC và tam giác ABG là hai tam giác đồng dạng (có cạnh và góc tương đồng).