Để chứng minh MNBC là hình thang cân, ta cần chứng minh hai đường cao của tam giác MNB và tam giác MNC bằng nhau.

Gọi H1 và H2 lần lượt là chân đường cao từ B và C của tam giác ABC.

Ta có:
- Tam giác ABC cân tại A nên AH1 = AH2.
- AM = AN (theo đề bài).

Khi đó, ta có hai tam giác AMB và ANC là hai tam giác cân, với AM = AN và AB = AC.

Do đó, ta có:
- Đường cao từ B của tam giác AMB chính là đường trung tuyến của tam giác ABC đi qua H1.
- Đường cao từ C của tam giác ANC chính là đường trung tuyến của tam giác ABC đi qua H2.

Vậy, ta có H1H2 là đường cao chung của tam giác MNB và tam giác MNC.

Vì H1H2 là đường cao chung của hai tam giác này, nên ta có H1H2 là đường cao chung của hình thang MNBC.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng MNBC là hình thang cân.