a) Ta có hình chữ nhật ABCD, với AD = 8 và DC = 15. Ta cần tính AC.

Vì ABCD là hình chữ nhật, ta có AC là đường chéo của hình chữ nhật. Vì vậy, ta có:

AC = √(AD^2 + DC^2)
= √(8^2 + 15^2)
= √(64 + 225)
= √289
= 17

Vậy AC = 17.

b) Đường thẳng đi qua D và vuông góc với AC tại M cắt AB tại N và cắt CB tại I. Ta cần tính DM.

Vì DM là đường cao của tam giác DMC, ta có:

DM = √(DC^2 - CM^2)
= √(15^2 - (AC/2)^2)
= √(225 - (17/2)^2)
= √(225 - 144.5)
= √(80.5)
≈ 8.97

Vậy DM ≈ 8.97.

c) Ta cần chứng minh MN^2 = MN * MI.

Vì tam giác DMC vuông tại M, ta có:

MN^2 = DM^2 + DN^2
= (8.97)^2 + DN^2

Vì tam giác DNI vuông tại N, ta có:

DN^2 = DI^2 + IN^2

Vì tam giác DIM vuông tại M, ta có:

MI^2 = DM^2 + DI^2

Thay vào biểu thức trên, ta có:

MN^2 = (8.97)^2 + (DI^2 + IN^2)
= (8.97)^2 + MI^2

Vậy MN^2 = MN * MI.

d) Ta cần tính góc BMC.

Vì tam giác DMC là tam giác vuông tại M, ta có:

sin(BMC) = DM/AC
= 8.97/17
≈ 0.528

Vậy góc BMC ≈ sin^(-1)(0.528).