a) Ta có tam giác vuông ABC, với đường cao CK. Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:
BC^2 = AB^2 - AC^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36
=> BC = 6cm

CK là đường cao của tam giác ABC, nên CK^2 = AK.BK
=> CK^2 = (AC^2 - CK^2)(BC^2 - CK^2)
=> CK^2 = (8^2 - CK^2)(6^2 - CK^2)
=> CK^2 = (64 - CK^2)(36 - CK^2)
=> CK^2 = 2304 - 100CK^2 + CK^4
=> CK^4 - 100CK^2 + 2304 = 0
Giải phương trình trên, ta được CK = 12cm hoặc CK = 4cm. Vì CK là đường cao của tam giác ABC, nên CK không thể bằng 12cm (vì nếu CK = 12cm, thì tam giác ABC sẽ không tồn tại). Vậy CK = 4cm.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ACK, ta có:
AK^2 = AC^2 - CK^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48
=> AK = √48 = 4√3 cm

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông BCK, ta có:
BK^2 = BC^2 - CK^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20
=> BK = √20 = 2√5 cm

b) Hình chiếu của K trên BC là H, và hình chiếu của K trên AC là I. Tứ giác CHKI là hình bình hành. Vì đường cao CK chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông cân, nên H là trung điểm của BC và I là trung điểm của AC. Do đó, ta có CH = HK và CI = IA. Vậy tứ giác CHKI là hình bình hành.

c) Ta có:
CB.CH + CA.CI = (CH + CI)(CB) + (CI)(CA)
= (BC)(CB) + (CI)(CA)
= (BC)(CB + CA)
= (BC)(BA)
= (BC)(BC + AC)
= BC^2 + BC.AC
= BC^2 + IH^2 (vì BC.AC = IH^2)
= IH^2