a) Để chứng minh AMCN là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng các điểm A, M, C, N thẳng hàng và AC song song với MN.

Vì AMCN là tứ giác có cạnh song song (AM // CN), nên ta có: ∠CNA = ∠MAN (cùng là góc thuộc cùng một đường song song) góc CAN = góc MNA (cùng là góc thuộc cùng một đường song song)

Từ đó, ta có: góc CNA + góc CAN = góc MAN + góc MNA ⇒ góc CNA + góc CAN = 180° (vì góc MAN + gócMNA = 180°, do hai góc bù nhau trên một đường thẳng)

=> A, M, C, N thẳng hàng.

để chứng minh AC//MN, ta xét tỉ số của các đoạn thẳng trong tam giác AMC và tam giác NDC: AM/NC = AB/CD (do AMCN là tứ giác có cạnh song song) AC/ND = AB/CD (do ABCD là hình bình hành)

Từ hai phương trình trên, ta có: AM/NC = AC/ND

=>AC//MN.

Vậy, AMCN là hình bình hành.

b) Để chứng minh đường thẳng PQ vuông góc với KIN và đi qua trung điểm của MC, ta cần sử dụng các tính chất về đường thẳng và góc trong hình học.

Vì P và Q là trung điểm của các cạnh MI và NI, nên MP = NP và ∠MPN = ∠NPM. Do đó, tam giác MPN là tam giác cân tại M và P chính là trung điểm của MN.

Từ đó, ta có: PN vuông góc với  MN và PM vuông góc với MN.

Gọi O là trung điểm của AN. Vì AC//MN (theo phần a), nên O cũng là trung điểm của MC.

Do đó, PQ là đường thẳng qua trung điểm của MC và vuông góc với MN.