Để chứng minh tam giác AHK vuông cân tại A, ta cần chứng minh AH = AK và góc AHK = góc AKH.

Ta có:
- Gọi O là giao điểm của BD và CE. Ta có: BD ⊥ AC và CE ⊥ AB, nên O là trung điểm của AC và AB.
- Vì BH = AC và CK = AB, nên BH = CK.
- Gọi M là trung điểm của BH. Ta có: MO ⊥ BH và MO = 1/2 BH = 1/2 AC.
- Gọi N là trung điểm của CK. Ta có: NO ⊥ CK và NO = 1/2 CK = 1/2 AB.
- Vì MO ⊥ BH và NO ⊥ CK, nên MO || NO.
- Vì MO = NO, nên tam giác MON là tam giác đều.
- Vì MO || NO và MO = 1/2 AC = NO = 1/2 AB, nên tam giác MNO là tam giác đều và MNO = 60°.
- Gọi I là giao điểm của AH và BD. Ta có: AI ⊥ BD và AI = 1/2 AH.
- Gọi J là giao điểm của AK và CE. Ta có: AJ ⊥ CE và AJ = 1/2 AK.
- Vì AI ⊥ BD và AJ ⊥ CE, nên AI || AJ.
- Vì AI = 1/2 AH và AJ = 1/2 AK, nên tam giác AIJ là tam giác đều và AIJ = 60°.
- Vì AI || AJ và AIJ = 60°, nên tam giác AIJ cân tại A.
- Vì tam giác AIJ cân tại A, nên góc AHK = góc AKH.
- Vì tam giác AIJ cân tại A, nên AH = AK.

Vậy, ta đã chứng minh được tam giác AHK vuông cân tại A.